Question

已知數列{a_n}中，對一切自然數n，都有a_n∈（0，1）且a_n•a_n+1²+2a_n+1-a_n=0．求證：
（1）a_n+1＜

1

2

anS_n；
（2）若S_n表示數列{a_n}的前n項之和，則S_n＜2a₁．

Answer 1

分析：（1）通過對已知等式變形分離出a_n，利用a_n∈（0，1），得到要證的不等式．
（2）由（1）先對前n項和放縮，再利用等比數列的前n項和公式求和，得到要證的不等式．

解答：解：（1）由已知a_n•a_n+1²+2a_n+1-a_n=0得an=

2an+1

1-an+12

，
又因為a_n∈（0，1），所以0＜1-a_n+1²＜1，因此a_n＞2a_n+1，即an+1＜

1

2

an（6分）

（2）由結論（1）可知an＜

1

2

an-1＜

1

22

an-2＜…＜

1

2n-1

a1，即an＜

1

2n-1

a1，
于是Sn=a1+a2+…+an＜a1+

1

2

a1+…+

1

2n-1

a1=a1•

1- 1 2n

1- 1 2

＜ 2a1，
即S_n＜2a₁（14分）

點評：證明不等式常用到通過放縮法得到要證的不等式，利用等比數列的前n項和公式注意判斷公比是否為1．