Question

已知二次函數(shù)f（x）滿足：f（

1

2

-x）=f（

1

2

+x），其圖象與x軸的兩個交點間的距離為3，并且其圖象過點（1，-2）．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）如果方程f（x）=mx-3在區(qū)間（0，2）上有解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由f（

1

2

-x）=f（

1

2

+x），可得f（x）圖象的對稱軸為x=

1

2

，由此可得a，b間關(guān)系式；由圖象過點（1，-2）可得一方程；設(shè)圖象與x軸的兩交點橫坐標(biāo)為x₁，x₂，則|x₁-x₂|=3，可化為(x1+x2)2-4x1x2=9，進(jìn)而用韋達(dá)定理可得一方程，以上方程聯(lián)立即可求得；
（2）方程f（x）=mx-3在區(qū)間（0，2）上有解，等價于m=x+

1

x

-1在（0，2）上有解，問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=x+

1

x

-1在（0，2）上的值域問題；

解答：解：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
由f（

1

2

-x）=f（

1

2

+x），知f（x）圖象關(guān)于x=

1

2

對稱，
所以-

b

2a

=

1

2

，即a=-b，
由函數(shù)圖象過點（1，-2），得a+b+c=-2，即-b+b+c=-2，
所以c=-2．
則f（x）=ax²-ax-2，設(shè)圖象與x軸的兩交點橫坐標(biāo)為x₁，x₂，
則|x₁-x₂|=3，(x1-x2)2=9，即(x1+x2)2-4x1x2=9，
所以1-4×（-

2

a

）=9，解得a=1，則b=-1．
所以f（x）=x²-x-2．
（2）方程f（x）=mx-3，即x²-x-2=mx-3，也即m=x+

1

x

-1，
所以方程f（x）=mx-3在區(qū)間（0，2）上有解，等價于m=x+

1

x

-1在（0，2）上有解．
當(dāng)x∈（0，2）時，x+

1

x

-1≥2

x• 1 x

-1=1，當(dāng)且僅當(dāng)x=

1

x

，即x=1時取等號，
所以x+

1

x

-1≥1，故m≥1．
所以實數(shù)m的取值范圍為：m≥1．

點評：本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及函數(shù)零點問題，解決（2）問的關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域處理，考查學(xué)生分析解決問題的能力．