Question

已知f（x）是奇函數(shù)且對(duì)任意正實(shí)數(shù)x₁，x₂（x₁≠x₂），恒有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，則一定正確的是（　　）

A．f（x）在R上是減函數(shù)

B．f（x）在R上是增函數(shù)

C．f（3）＞f（-3）

D．f（-4）＜f（-5）

Answer 1

分析：由已知中f（x）是奇函數(shù)且對(duì)任意正實(shí)數(shù)x₁，x₂（x₁≠x₂），恒有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義及奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相同，我們可以判斷出函數(shù)在（0，+∞）上和（-∞，0）上均為減函數(shù)，但由于函數(shù)不一定連續(xù)，故無法判斷函數(shù)在R上的單調(diào)性，比照四個(gè)答案中的結(jié)論，即可得到答案．

解答：解：∵對(duì)任意正實(shí)數(shù)x₁，x₂（x₁≠x₂），恒有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)
又∵f（x）是奇函數(shù)
∴函數(shù)在（-∞，0）上為減函數(shù)
但函數(shù)在R上的單調(diào)性無法確定
故A中，f（x）在R上是減函數(shù)，不一定正確；
B中，f（x）在R上是增函數(shù)，不一定正確；
C中，f（3）＞f（-3），不一定正確；
D中，f（-4）＜f（-5），一定正確；
故選D

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性，其中根據(jù)據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義及奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相同，判斷出函數(shù)的在（0，+∞）上和（-∞，0）上及R上的單調(diào)性，是解答本題的關(guān)鍵．