Question

（本小題滿(mǎn)分13分）如圖，正三棱柱中，D是BC的中點(diǎn)，

（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：；（Ⅲ）求三棱錐的體積.

Answer 1

（1）根據(jù)三棱柱中BB₁⊥平面ABC，結(jié)合AD⊥BD，根據(jù)三垂線定理得，AD⊥B₁D，得到證明。
（2）要證明線面平行，關(guān)鍵是對(duì)于DE∥A₁C.的證明。
（3）

試題分析：（Ⅰ）證明：∵ABC—A₁B₁C₁是正三棱柱，∴BB₁⊥平面ABC，∴BD是B₁D在平面ABC上的射影在正△ABC中，∵D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BD，根據(jù)三垂線定理得，AD⊥B₁D
（Ⅱ）解：連接A₁B，設(shè)A₁B∩AB₁ = E，連接DE.∵AA₁=AB ∴四邊形A₁ABB₁是正方形，∴E是A₁B的中點(diǎn)，又D是BC的中點(diǎn)，∴DE∥A₁C. ………………………… 7分∵DE平面AB₁D，A₁C平面AB₁D，∴A₁C∥平面AB₁D. ……………………9分 
（Ⅲ）  ……13分
點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是能利用線面平行的判定定理，以及面面垂直的性質(zhì)定理來(lái)證明線線垂直，同時(shí)結(jié)合體積公式計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題。