Question

數列{a_n}的前n項和為S_n，若a₁=2且a_n+1-2=a_n．
（1）求使不等式S_n＜56成立的n的最大值；
（2）是否存在等比數列{b_n}滿足b₁=a₁，b₂=a₃，b₃=a₉？若存在，則求出數列{b_n}的通項公式；若不存在，則說明理由．

Answer 1

分析：（1）由a_n-1-2=a_n，知a_n-1-a_n=2，故Sn=2n+2×

n(n-1)

2

=n²+n．由此能求出使不等式S_n＜56成立的n的最大值．
（2）存在存在等比數列{b_n}滿足b₁=a₁，b₂=a₃，b₃=a₉．由a_n=2n，知a₃=6，a₉=18，a₁=2，則由b₁=a₁，b₂=a₃，b₃=a₉，由此能推導出存在以b₁=2為首項，公比為3的等比數列{b_n}，其通項公式為bn=2•3n-1．

解答：解：（1）∵a_n-1-2=a_n，
∴a_n-1-a_n=2，
即數列{a_n}是以2為首項，公差為2的等差數列，
∴Sn=2n+2×

n(n-1)

2

=n²+n．
∴由S_n＜56，得0＜n＜7，n∈N^*．
故使不等式S_n＜56成立的n的最大值為6．
（2）存在存在等比數列{b_n}滿足b₁=a₁，b₂=a₃，b₃=a₉．
由（1）知，a_n=2n，
∴a₃=6，a₉=18，a₁=2，
則由b₁=a₁，b₂=a₃，b₃=a₉，
得

b2

b1

=

b3

b2

=3，
即存在以b₁=2為首項，公比為3的等比數列{b_n}，
其通項公式為bn=2•3n-1．

點評：本題考查等比數列的性質和應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．