Question

已知關(guān)于x的函數(shù)y=（m+6）x²+2（m-1）x+m+1恒有零點．
（1）求m的范圍；
（2）若函數(shù)有兩個不同零點，且其倒數(shù)之和為-4，求m的值．

Answer 1

（1）當(dāng)m+6=0時，m=-6，函數(shù)為y=-14x-5顯然有零點．
當(dāng)m+6≠0時，m≠-6，由△=4（m-1）²-4（m+6）（m+1）=-36m-20≥0，得m≤-

5

9

．
∴當(dāng)m≤-

5

9

且m≠-6時，二次函數(shù)有零點．
綜上可得，m≤-

5

9

，即m的范圍為（-∞，-

5

9

]．
（2）設(shè)x₁，x₂是函數(shù)的兩個零點，則有 x₁+x₂=-

2(m-1)

m+6

，x₁x₂=

m+1

m+6

．
∵

1

x1

+

1

x2

=-4，即

x1+x2

x1x2

=-4，
∴-

2(m-1)

m+1

=-4，解得m=-3．
且當(dāng)m=-3時，m+6≠0，△＞0，符合題意，
∴m的值為-3．