Question

【題目】已知橢圓與拋物線y2＝x有一個(gè)相同的焦點(diǎn)，且該橢圓的離心率為.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(diǎn)P(0,1)的直線與該橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求△AOB的面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析:(1)先求橢圓焦點(diǎn)得c，再根據(jù)離心率列方程組可得a＝2，b2＝2 (2)將OP視為底，根據(jù)三角形面積公式得S＝ |OP|·|x1－x2|，再聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)得|x1－x2|，最后根據(jù)解出k，代入解得△AOB的面積．

試題解析：解：(1)依題意，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)，

由題意可得c＝，又e＝＝，∴a＝2.

∴b2＝a2－c2＝2，

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.

(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由＝2，得

設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋1，代入橢圓方程整理，得

(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0，

∴x1＋x2＝－，x1·x2＝－.

將x1＝－2x2代入上式整理可得， 2＝，

解得k2＝.

∴△AOB的面積S＝|OP|·|x1－x2|

＝＝·＝.