Question

從某自動包裝機包袋的食鹽中，隨機抽取20袋作為樣本，按各袋的質量（單位：g）分成四組，[490，495），[495，500），[500，505），[505，510]，相應的樣本頻率分布直方圖如圖所示．
（1）估計樣本的中位數是多少？落入[500，505）的頻數是多少？
（2）現從這臺自動包裝機包袋的大批量食鹽中，隨機抽取3袋，記ξ表示食鹽質量屬于[500，505）的袋數，依樣本估計總體的統計思想，求ξ的分布列及期望．

Answer 1

分析：（1）欲求中位數，即尋找一條直線，將把頻率分布直方圖分為左右兩側等面積．欲求落入[500，505）的頻數，可根據直方圖得出分別其它組中的頻數，再求出落入[500，505）的頻數解決即可；
（2）依據及格人數ξ的可能值是以0，1，2，3，分別求出它們的概率得分布列，再根據期望的公式，代入其公式求解．

解答：解：（1）由已知可得，
直線x=

500+505

2

=502.5，把頻率分布直方圖分為左右兩側等面積，
故估計樣本的中位數是502.5（直接寫出答案不扣分）（2分）
樣本落入[490，495）的頻數是：（0.01×5）×20=1
[495，500）的頻數是：（0.02×5）×20=2
[505，510）的頻數是：（0.03×5）×20=3（4分）
故落入[500，505）的頻數是：20-（1+2+3）=14（6分）
（2）ξ=0，1，2，3，依樣本的頻率代替概率，
可得P(ξ=i)=

C

i 3

(

7

10

)i(

3

10

)3-i(i=0，1，2，3)（8分）
故ξ的分布列為
（11分）
從而Eξ=0×0.027+1×0.189+2×0.441+3×0.343=2.1
或Eξ=np=3×0.7=2.1．（13分）

點評：本題考查頻率分布直方圖的相關知識．直方圖中的各個矩形的面積代表了頻率，所以各個矩形面積之和為1．同時也考查了分布列及數學期望的求法，屬于中檔題．