Question

在直角坐標平面內，過點P（0，3）的直線與圓心為C的圓x²+y²-2x-3=0相交于A，B兩點，則△ABC面積的最大值是（　�。�

• A、2
• B、4
• C、

  3

• D、2

  3

Answer 1

考點：圓的一般方程

專題：直線與圓

分析：首先對直線的方程進行討論①斜率不存在的直線，可以直接求出三角形的面積．②斜率存在的直線，利用基本不等式求出三角形的面積的最大值．

解答： 解：過點P（0，3）的直線與圓心為C的圓x²+y²-2x-3=0相交于A，B兩點，
①當直線的斜率不存在時，直線的方程為：x=0
在y軸上所截得的線段長為d=2

22-12

=2

3

所以S△ABC=

1

2

•2

3

•1=

3

②當直線的斜率存在時，設直線的方程為：y=kx+3
設圓心到直線的距離為d，則所截得的弦長l=2

4-d2

所以：S△ABC=

1

2

•2

4-d2

d=

4-d2

d2

≤

4-d2+d2

2

=2
所以：三角形面積的最大值為：2
故選：A

點評：本題考查的知識要點：三角形面積公式的應用，對直線的方程的存在形式進行分類討論，及相關的運算問題．