Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（1）求異面直線A₁B與AC所成的角；
（2）求直線A₁B和平面A₁B₁CD所成的角．

Answer 1

分析：（1）連結BC₁、A₁C₁，由正方體的性質可得四邊形AA₁C₁C為平行四邊形，從而A₁C₁∥AC，∠BA₁C₁是異面直線A₁B與AC所成的角．由于△A₁B₁C是等邊三角形，得∠BA₁C₁=60°，因此異面直線A₁B與AC所成的角等于60°；
（2）設BC₁交B₁C于點O，連結A₁O，利用正方體的性質和線面垂直的判定定理，證出BO⊥平面A₁B₁CD，可得∠BA₁O是直線A₁B與平面A₁B₁CD 所成的角．設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的邊長為a，在Rt△A₁BO中加以計算，即可得到直線A₁B與平面A₁B₁CD 所成的角的大小．

解答：解：（1）連結BC₁、A₁C₁，
∵在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁A

∥

.

C₁C，
∴四邊形AA₁C₁C為平行四邊形，可得A₁C₁∥AC，
因此∠BA₁C₁（或其補角）是異面直線A₁B與AC所成的角，
設正方體的棱長為a，則△A₁B₁C中A₁B=BC₁=C₁A₁=

2

a，
∴△A₁B₁C是等邊三角形，可得∠BA₁C₁=60°，
即異面直線A₁B與AC所成的角等于60°；
（2）設BC₁交B₁C于點O，連結A₁O，
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，CD⊥平面BB₁C₁C，BC₁?平面BB₁C₁C，∴CD⊥BC₁，
∵正方形BB₁C₁C中，對角線BC₁⊥B₁C，CD∩B₁C=C，
∴BC₁⊥平面A₁B₁CD，即BO⊥平面A₁B₁CD，可得∠BA₁O是直線A₁B與平面A₁B₁CD 所成的角．
設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的邊長為a，
∵在Rt△A₁BO中，A₁B=

2

a，OB=

2 a

2

，∴sin∠BA₁O=

1

2

，可得∠BA₁O=30°
即直線A₁B與平面A₁B₁CD 所成的角的大小等于30°．

點評：本題在正方體中求異面直線所成角和直線與平面所成角的大小，著重考查了正方體的性質、空間角的定義及其求法等知識，屬于中檔題．