Question

（2012•北京模擬）如圖，經過B（1，2）作兩條互相垂直的直線l₁和l₂，l₁交y軸正半軸于點A，l₂交x軸正半軸于點C．
（1）若A（0，1），求點C的坐標；
（2）試問是否總存在經過O，A，B，C四點的圓？若存在，求出半徑最小的圓的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求l₁的方程，進而可求l₂的方程，即可得到點C的坐標；
（2）因為AB⊥BC，OA⊥OC，所以總存在經過O，A，B，C四點的圓，且該圓以AC為直徑，分類討論，確定A、C的坐標，表示出AC，即可求得結論．

解答：解：（1）由直線l₁經過兩點A（0，1），B（1，2），得l₁的方程為x-y+1=0．
由直線l₂⊥l₁，且直線l₂經過點B，得l₂的方程為x+y-3=0．
所以，點C的坐標為（3，0）．
（2）因為AB⊥BC，OA⊥OC，所以總存在經過O，A，B，C四點的圓，且該圓以AC為直徑．
①若l₁⊥y軸，則l₂∥y軸，此時四邊形OABC為矩形，|AC| =

5

．
②若l₁與y軸不垂直，則兩條直線斜率都存在．不妨設直線l₁的斜率為k，則直線l₂的斜率為-

1

k

．
所以直線l₁的方程為y-2=k（x-1），從而A（0，2-k）；
直線l₂的方程為y-2=-

1

k

(x-1)，從而C（2k+1，0）．
令

2-k＞0 2k+1＞0

解得k∈(-

1

2

，2)，注意到k≠0，所以k∈(-

1

2

，0)∪(0，2)．
此時|AC|²=（2-k）²+（2k+1）²=5k²+5＞5，|AC| ＞

5

，
所以半徑的最小值為

5

2

．
此時圓的方程為(x-

1

2

)2+(y-1)2=

5

4

．

點評：本題考查確定直線位置的幾何要素，直線的傾斜角和斜率，過兩點的直線斜率的計算公式，直線方程的點斜式，兩條直線平行或垂直的判定，圓的標準方程，屬于中檔題．