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(2012•北京模擬)甲、乙、丙、丁四個人進行傳球練習,每次球從一個人的手中傳入其余三個人中的任意一個人的手中.如果由甲開始作第1次傳球,經過n次傳球后,球仍在甲手中的所有不同的傳球種數共有an種.
(如,第一次傳球模型分析得a1=0.)
(1)求 a2,a3的值;
(2)寫出 an+1與 an的關系式(不必證明),并求 an=f(n)的解析式;
(3)求 
anan+1
的最大值.
分析:(1)通過畫圖,作出符合題意的示意圖,加以總結即可得到 a2,a3的值;
(2)計算前幾項,可發現規律:an+1+an=3n(n=1,2,3,…).利用待定系數法,得到數列 {an-
1
4
×3n
}是首項為-
3
4
,公比為-1的等比數列.最后借助于等比數列的通項公式,即可算出 an=f(n)的解析式;
(3)分n為偶數和n為奇數兩種情況,討論
an
an+1
的單調性并結合不等式的性質進行推理,即可得到當n=2時,
a2
a3
=
1
2
為 
an
an+1
的最大值.
解答:解:(1)可畫出示意圖:

可得經過兩次傳球回到甲手中的所有不同種數為3;經過3次傳球回到甲手中的所有不同種數為6.
因此可得:得 a2=3,a3=6.
(2)依題意有  a1=0,且 an+1+an=3n(n=1,2,3,…).
將 an+1+an=3n變形為 an+1-
1
4
×3n+1=-(an-
1
4
×3n)

從而數列 {an-
1
4
×3n
}是首項為a1-
3
4
=-
3
4
,公比為-1的等比數列.
an-
1
4
×3n=-
3
4
×(-1)n-1
,可得 an=
3n
4
+(-1)n
3
4
(n=1,2,3,…).
(3)①當n是偶數時,
an
an+1
  =  
3n
4
+
3
4
3n+1
4
-
3
4
  =  
3n+3
3n+1-3
  =  
1
3
+
4
3n+1-3
,為關于n的單調遞減函數
∴當n是偶數時,
an
an+1
隨n的增大而減小,從而,當n是偶數時,
an
an+1
的最大值是 
a2
a3
=
1
2

②當n是奇數時,
an
an+1
  =  
3n
4
-
3
4
3n+1
4
+
3
4
  =  
3n-3
3n+1+3
  =  
1
3
-
4
3n+1+3
,為關于n的單調增減函數
∴當n是奇數時,
an
an+1
隨n的增大而增大,且 
an
an+1
=
1
3
-
4
3n+1+3
1
3
1
2

綜上,
an
an+1
的最大值是 
1
2
點評:本題考查了函數的單調性、指數函數的單調性、函數模型(指數函數)的應用、等比數列的概念、等比數列的通項公式,以及用等比數列知識解決相應的問題等知識點,屬于中檔題.
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2a+b
2c+d
=(  )

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log
2
3
(3x-2)
的定義域為
2
3
,1]
2
3
,1]

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3
an+1=
1+
a
2
n
-1
an
(n∈N*)
.數列{bn}滿足0<bn
π
2
,且 an=tanbn(n∈N*).
(1)求b1,b2的值;
(2)求數列{bn}的通項公式;
(3)設數列{bn}的前n項和為Sn.若對于任意的n∈N*,不等式Sn≥(-1)nλbn恒成立,求實數λ的取值范圍.

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