Question

已知a、b、ω是實數，函數f（x）=asinωx+bcosωx滿足“圖象關于點（

π

3

，0）對稱，且在x=

π

6

處f（x）取最小值”．若函數f（x）的周期為T，則以下結論一定成立的是（　　）

• A．a=0
• B．b=0
• C．T=

  2

  3

  π
• D．ω=9

Answer 1

分析：將f（x）=asinωx+bcosωx化為f（x）=

a2+b2

sin（ωx+φ），由題意可得

解答：解：當a=0時，則函數f（x）=bcosωx，故函數在x=0時取得最值，
若函數在x=

π

6

處f（x）取最小值，則必在x=

π

3

處f（x）取最值，故A錯誤；
∵函數f（x）=asinωx+bcosωx的圖象關于點（

π

3

，0）對稱，且在x=

π

6

處f（x）取最小值，
∴

π

3

-

π

6

=

T

4

+k•

T

2

，即

π

6

=

T

4

+k•

T

2

當k≠0時，T≠

2

3

π，故C錯誤；
由于f（x）=asinωx+bcosωx=

a2+b2

sin（ωx+φ）
則sin(ω×

π

6

+φ)=-1，則ω×

π

6

+φ=2mπ-

π

2

(m∈Z)      ①
sin(ω×

π

3

+φ)=0，則ω×

π

3

+φ=nπ(n∈Z)              ②
故②-①得到ω×

π

6

=kπ+

π

2

(k∈Z)
∴ω=6k+3（k∈Z），故D錯誤；
故結論一定成立的是B
故答案為 B

點評：本題主要考查了利用輔助角公式把函數化簡為同一個角的三角函數，本題解題的關鍵是函數的一個對稱中心，代入可以求出ω的值，根據對稱軸可以求出a，b相等的條件，本題是一個中檔題目．