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12.已知函數f(x)=1+$\frac{4}{x}$,g(x)=log2x;
設函數h(x)=g(x)-f(x)求函數h(x)在區間[2,4]上的值域;
定義min{p,q}表示p,q中較小者,設函數H(x)=min{f(x),g(x)}(x>0)
①求函數H(x)的最大值;
②若函數y=H(x)-k有兩個零點,求實數k的取值范圍.

分析 (1)判斷h(x)在區間[2,4]上單調遞增,計算即可得到所求值域;
(2)①求出函數H(x)=min{f(x),g(x)}的分段函數,討論單調性,可得最大值;
②若函數y=H(x)-k有兩個零點等價于方程H(x)=k有兩個實根;作出函數H(x)的大致圖象,即可得到所求k的范圍.

解答 解:(1)因為函數h(x)=g(x)-f(x)=log2x-1-$\frac{4}{x}$
在區間[2,4]上單調遞增,
所以函數h(x)的值域為[-2,0];-----------(4分)
(2)①函數H(x)=min{f(x),g(x)}=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x,0<x≤4}\\{1+\frac{4}{x},x>4}\end{array}\right.$,
顯然,函數H(x)在區間(0,4]上單調遞增,在區間(4,+∞)上單調遞減,
所以,函數H(x)的最大值為H(4)=2-------------(8分)
②若函數y=H(x)-k有兩個零點等價于方程H(x)=k有兩個實根;
作出函數H(x)的大致圖象,可知k的取值范圍是1<k<2-----------------(12分)

點評 本題考查函數的值域及最值的求法,注意運用函數的單調性和數形結合思想方法,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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