Question

．（本小題滿分12分）如圖，在矩形中，，又⊥平面，．

（Ⅰ）若在邊上存在一點，使，

求的取值范圍；

（Ⅱ）當邊上存在唯一點，使時，

求二面角的余弦值．

 

 

Answer 1

【答案】

解法1：（Ⅰ）如圖，連，由于PA⊥平面ABCD，則由PQ⊥QD，必有．

                                     ……2分

設，則，

在中，有．

在中，有．    ……4分

在中，有．

即，即．

∴．

故的取值范圍為．                                       ……6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當，時，邊BC上存在唯一點Q（Q為BC邊的中點），使PQ⊥QD．                                                  

過Q作QM∥CD交AD于M，則QM⊥AD．

　　∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QM．∴QM⊥平面PAD．

　　過M作MN⊥PD于N，連結NQ，則QN⊥PD．

　　∴∠MNQ是二面角A－PD－Q的平面角．                           ……8分

在等腰直角三角形中，可求得，又，進而．

                                             ……10分

∴．

故二面角A－PD－Q的余弦值為．                ……12分

 

【解析】略