Question

已知函數y=f（x），x∈D，y∈A；g（x）=x²-（4）x+1，
（1）當f（x）=sin（x+φ）為偶函數時，求φ的值．
（2）當f（x）=sin（2x+）+sin（2x+）時，g（x）在A上是單調遞增函數，求θ的取值范圍．
（3）當f（x）=a₁sin（ωx+φ₁）+a₂sin（ωx+φ₂）+…+a_nsin（ωx+φ_n）時，（其中a_i∈R，i=1，2，3…n，ω＞0），若f²（0）+f²（）≠0，且函數f（x）的圖象關于點（，0）對稱，在x=π處取得最小值，試探討ω應該滿足的條件．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據函數f（x）=sin（x+φ）為偶函數，可得sin（x+φ）=sin（-x+φ），化簡為cosφ=0，可得φ的值．
（2）利用三角恒等變換化簡函數f（x）的解析式為 sin（2x+α）∈[-，]，可得A，再根據g（x）的解析式結合題意可得tanθ≤-，由此可得θ的取值范圍．
（3）由于 f（x）的解析式以及f²（0）+f²（）≠0，可得f（x）=msinωx+ncosωx=sin（ωx+φ），且 m²+n²≠0．由條件可得ω=4n-3，n∈N^* ①，而且
ω=k，k∈N^* ②，結合①②可得ω 滿足的條件．
解答：解：（1）因為函數f（x）=sin（x+φ）為偶函數，所以，sin（x+φ）=sin（-x+φ），
化簡為 2sinxcosφ=0，∴cosφ=0，所以φ=kπ+，k∈z．
（2）∵函數f（x）=sin（2x+）+sin（2x+）=sin2x+2cos2x=sin（2x+α）∈[-，]，
其中，sinα=，cosα=，所以 A=[-，]…（8分）
g（x）=x²-（4tanθ）x+1=+1-28tan²θ，
由題意可知：2tanθ≤-，tanθ≤-，∴kπ-≤θ≤kπ-arctan，k∈z，
即θ的取值范圍是[kπ-，kπ-arctan]，k∈z．（10）
（3）由于 f（x）=a₁sin（ωx+φ₁）+a₂sin（ωx+φ₂）+…+a_nsin（ωx+φ_n）
=a₁ （sinωxcosφ₁ +cosωxsinφ₁）+a₂ （sinωxcosφ₂ +cosωxsinφ₂）+…+a_n （sinωxcosφ_n+cosωxsinφ_n ）
=sinωx （a₁•cosφ₁+a₂•cosφ₂+…+a_n•cosφ_n）
+cosωx（a₁•sinφ₁+a₂•sinφ₂+…+a_n•sinφ_n）．
∵f²（0）+f²（）≠0，∴a₁•cosφ₁+a₂•cosφ₂+…+a_n•cosφ_n =0
與a₁•sinφ₁+a₂•sinφ₂+…+a_n•sinφ_n =0 不能同時成立．
不妨設 a₁•cosφ₁+a₂•cosφ₂+…+a_n•cosφ_n =m，a₁•sinφ₁+a₂•sinφ₂+…+a_n•sinφ_n =n，
則f（x）=msinωx+ncosωx==sin（ωx+φ），且 m²+n²≠0．
由于函數f（x）的圖象關于點（，0）對稱，在x=π處取得最小值，∴（4n-3）=π-，n∈N^*．
（4n-3）=，∴ω=4n-3，n∈N^*  ①．
再由函數f（x）的圖象關于點（，0）對稱可得 sin（ω+φ）=0，故ω+φ=kπ，k∈z．
∴（4m-3）+φ=kπ，φ=kπ+，k∈z．
又函數f（x）在x=π處取得最小值，∴sin（ωπ+φ）=-1，∴ωπ+kπ+=2k′π+，k′∈z．
∴ω=k，k∈N^* ②．
由①②可得，ω=4n-3，n∈N^*．
點評：本題主要考查三角函數的恒等變換和化簡求值，復合三角函數的單調性和對稱性，屬于中檔題．