Question

過點作曲線的切線，切點為，過作軸的垂線交 軸于點，又過作曲線C的，切點為，過作軸的垂線交軸于點，…，依次下去得到一系列點，…，設點的橫坐標為．

（1）求數列的通項公式；

（2）求和；

（3）求證：．

Answer 1

解：（1）∵，∴．

若切點是，

則切線方程為．      …………………1分

當時，切線過點，

即：，

依題意．所以．       …………………2分

當時，切線過點，

即：，

依題意，所以．  ………………3分

所以數列是首項為，

公比為的等比數列．所以．  …………4分

（2）記，

因為，

所以．    …………………5分

兩式相減，

得：

　　    

．   …………………7分

∴

．          …………………9分

（3）證法1：

 ．      

…………………14分

證法2：當時，

．…………………10分

假設時，結論成立，

即，

則．

即時．

．                        …………………13分

綜上，　

對都成立．              …………………14分