Question

某公司有電子產品n件，合格率為96%，在投放市場之前，決定對該產品進行最后檢驗，為了減少檢驗次數，科技人員采用打包的形式進行，即把x件打成一包，對這x件產品進行一次性整體檢驗，如果檢測儀器顯示綠燈，說明該包產品均為合格品；如果檢測儀器顯示紅燈，說明該包產品至少有一件不合格，須對該包產品一共檢測了x+1次
（1）探求檢測這n件產品的檢測次數f（x）；
（2）如果設0.96ⁿ≈1-0.04n，要使檢測次數最少，則每包應放多少件產品？

Answer 1

【答案】分析：（1）因為每一件產品被檢驗的次數是一隨機變量ξ，所以ξ的取值為或，然后求出相應的概率，得到隨機變量ξ的概率分布，再求出每一件產品被檢驗的期望Eξ，從而得到這n件產品被檢驗的次數為（x）=nEξ；
（2）由題設可知0.96^x=1-0.04x，所以化簡f（x），然后利用基本不等式求出最小值，以及取最小值時x的值即可．
解答：解：（1）因為每一件產品被檢驗的次數是一隨機變量ξ，所以ξ的取值為或
則隨機變量ξ的概率分布為

ξ
P

…（4分）
所以每一件產品被檢驗的期望為=
于是，這n件產品被檢驗的次數為…（6分）
（2）由題設可知0.96^x=1-0.04x，
所以=
=（當且僅當即x=5）時等號成立
因此，要使檢測的次數最少，每包應放5件．…（12分）
（不驗證等號扣1分）
點評：本題主要考查了離散型隨機變量及其分布列，以及數學期望和基本不等式求最值，同時考查了計算能力，屬于中檔題．