Question

某公司有電子產(chǎn)品n件，合格率為96%，在投放市場之前，決定對該產(chǎn)品進(jìn)行最后檢驗，為了減少檢驗次數(shù)，科技人員采用打包的形式進(jìn)行，即把x件打成一包，對這x件產(chǎn)品進(jìn)行一次性整體檢驗，如果檢測儀器顯示綠燈，說明該包產(chǎn)品均為合格品；如果檢測儀器顯示紅燈，說明該包產(chǎn)品至少有一件不合格，須對該包產(chǎn)品一共檢測了x+1次
（1）探求檢測這n件產(chǎn)品的檢測次數(shù)f（x）；
（2）如果設(shè)0.96ⁿ≈1-0.04n，要使檢測次數(shù)最少，則每包應(yīng)放多少件產(chǎn)品？

Answer 1

分析：（1）因為每一件產(chǎn)品被檢驗的次數(shù)是一隨機(jī)變量ξ，所以ξ的取值為

1

x

或1+

1

x

，然后求出相應(yīng)的概率，得到隨機(jī)變量ξ的概率分布，再求出每一件產(chǎn)品被檢驗的期望Eξ，從而得到這n件產(chǎn)品被檢驗的次數(shù)為（x）=nEξ；
（2）由題設(shè)可知0.96^x=1-0.04x，所以化簡f（x），然后利用基本不等式求出最小值，以及取最小值時x的值即可．

解答：解：（1）因為每一件產(chǎn)品被檢驗的次數(shù)是一隨機(jī)變量ξ，所以ξ的取值為

1

x

或1+

1

x

則隨機(jī)變量ξ的概率分布為

ξ	1 x	1+ 1 x
P	( 96 100 )x	1-( 96 100 )x

…（4分）
所以每一件產(chǎn)品被檢驗的期望為Eξ=

1

x

(

96

100

)x+(1+

1

x

)[1-(

96

100

)x]=1+

1

x

-0.96x
于是，這n件產(chǎn)品被檢驗的次數(shù)為f(x)=n(1+

1

x

-0.96x)…（6分）
（2）由題設(shè)可知0.96^x=1-0.04x，
所以f(x)=n(1+

1

x

-0.96x)=n[1+

1

x

-(1-0.04x)]
=n(

1

x

+0.04x)≥n•2

1 x •0.04x

=0.4n（當(dāng)且僅當(dāng)

1

x

=0.04x即x=5）時等號成立
因此，要使檢測的次數(shù)最少，每包應(yīng)放5件．…（12分）
（不驗證等號扣1分）

點評：本題主要考查了離散型隨機(jī)變量及其分布列，以及數(shù)學(xué)期望和基本不等式求最值，同時考查了計算能力，屬于中檔題．