Question

設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且

3

 bsinA=acosB．
（1）求角B的大小；
（2）若b=3，sinC-2

3

sinA=0，求a，c的值．

Answer 1

分析：（1）根據正弦定理，結合題中等式化出

3

sinBsinA=sinAcosB，結合三角形內角范圍得到

3

sinB=cosB，從而解出B=

π

6

．
（2）由正弦定理得c=2

3

a，代入余弦定理b²=a²+c²-2accosB的式子，解得a=

3 7

7

，進而可得邊c的值．

解答：解：（1）∵在△ABC中

3

 bsinA=acosB，
∴由正弦定理得

3

sinBsinA=sinAcosB．          …（2分）
∵A∈（0，π），
∴sinA＞0，可得

3

sinB=cosB，tanB=

3

3

．     …（4分）
∵B∈（0，π），∴B=

π

6

．          …（7分）
（2）∵sinC-2

3

sinA=0，∴由正弦定理得c=2

3

a．    …（9分）
由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，得
9=a2+12a2-2a•2

3

a•cos

π

6

．               …（11分）
解之得a=

3 7

7

，從而c=2

3

a=

6 21

7

．                  …（14分）

點評：本題給出出三角形的邊角關系，求角B的大小，并在已知邊b和a、c長度關系情況下求邊a、c長，著重考查了利用正余弦定理解三角形等知識，屬于基礎題．