【題目】在平面直角坐標系
中，橢圓
的左、右焦點分別為
離心率為
，兩準線之間的距離為8,點
在橢圓
上，且位于第一象限，過點
作直線
的垂線
，過點
作直線
的垂線
．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若直線
的交點
在橢圓上，求點的坐標．
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】試題分析：(1)由橢圓的離心率公式求得
,由橢圓的準線方程
,則
，即可求得
和
的值，則
，即可求得橢圓方程；（2）設
點坐標，分別求得直線
的斜率及直線
的斜率，則可求得
及
的斜率及方程，聯立求得
點坐標，由滿足橢圓方程，求得
，結合在橢圓E上，
聯立即可求得點坐標.
試題解析：（1）設橢圓的半焦距為c．因為橢圓E的離心率為
，兩準線之間的距離為8，所以
，
，解得
，于是
，因此橢圓E的標準方程是．
（2）由（1）知，
，
．設
，因為為第一象
限的點，故
．當
時，與相交于
，與題設不符．
當
時，直線的斜率為
，直線的斜率為
， 
直線的斜率為
，直線的斜率為
，
從而直線的方程
，① 直線的方程
，②
由①②，解得
，所以
．因為點在橢圓上，由對稱性，得
，即
或
．又在橢圓E上，故．
由
，解得
；
，無解．因此點P的坐標為
．
【方法點晴】本題主要考查待定系數求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關系，屬于難題.用待定系數法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據條件判斷橢圓的焦點在
軸上，還是在
軸上，還是兩個坐標軸都有可能；②設方程：根據上述判斷設方程
或
；③找關系：根據已知條件，建立關于、
、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設方程，即為所求.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為探索課堂教學改革，江門某中學數學老師用傳統教學和“導學案”兩種教學方式，在甲、乙兩個平行班進行教學實驗。為了解教學效果，期末考試后，分別從兩個班級各隨機抽取20名學生的成績進行統計，得到如下莖葉圖。記成績不低于70分者為“成績優良”。
（Ⅰ）請大致判斷哪種教學方式的教學效果更佳，并說明理由；
（Ⅱ）構造一個教學方式與成績優良列聯表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為“成績優良與教學方式有關”?
（附：
，其中
是樣本容量）
獨立性檢驗臨界值表：
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知動點
到定點
的距離比
到定直線
的距離小1.
（Ⅰ）求點
的軌跡
的方程；
（Ⅱ）過點
任意作互相垂直的兩條直線
，分別交曲線
于點
和
.設線段
， 
的中點分別為
，求證：直線
恒過一個定點；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求
面積的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】私家車的尾氣排放是造成霧霾天氣的重要因素之一，因此在生活中我們應該提倡低碳生活，少開私家車，盡量選擇綠色出行方式，為預防霧霾出一份力．為此，很多城市實施了機動車車尾號限行，我市某報社為了解市區公眾對“車輛限行”的態度，隨機抽查了
人，將調查情況進行整理后制成下表：
年齡（歲） |
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頻數 |
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贊成人數 |
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（
）完成被調查人員的頻率分布直方圖．
（
）若從年齡在
，
的被調查者中各隨機選取人進行追蹤調查，求恰有人不贊成的概率．
（
）在
在條件下，再記選中的
人中不贊成“車輛限行”的人數為
，求隨機變量的分布列和數學期望．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在Rt
中，
，點
、
分別在線段
、
上，且
，將
沿
折起到
的位置，使得二面角
的大小為
.
（1）求證：
；
（2）當點為線段的靠近
點的三等分點時，求
與平面
所成角
的正弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在
中， 
分別是角
的對邊，已知
，現有以下判斷：
①
不可能等于15； ②
；
③作
關于
的對稱點
的最大值是
；
④若
為定點，則動點
的軌跡圍成的封閉圖形的面積是
。請將所有正確的判斷序號填在橫線上______________。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f(x)＝
sin 2x－
cos2x.
(1)求f(x)的周期和最小值；
(2)將函數f(x)的圖像上每一點的橫坐標伸長到原來的兩倍（縱坐標不變），再把所得圖像上的所有點向上平移
個單位，得到函數g(x)的圖像，當
時，求g(x)的值域．
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