Question

已知拋物線y²=4x的準線與x軸交于M點，過M作直線與拋物線交于A、B兩點，若線段AB的垂直平分線與X軸交于D（X₀，0）
（1）求X₀的取值范圍．
（2）△ABD能否是正三角形？若能求出X₀的值，若不能，說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意易得M（-1，0）
設過點M的直線方程為y=k（x+1）（k≠0）代入y²=4x，得k²x²+（2k²-4）x+k²=0
再設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=，x₁•x₂=1
y₁+y₂=k（x₁+1）+k（x₂+1）=k（x₁+x₂）+2k=
∴AB的中點坐標為（）
那么線段AB的垂直平分線方程為，
令y=0，得，即
又方程（1）中△=（2k²-4）²-4k⁴＞0，∴0＜k²＜1，∴，
∴x₀＞3
（2）若△ABD是正三角形，則需點D到AB的距離等于
點D到AB的距離d=
據(jù)，得：
∴4k⁴+k²-3=0，（k²+1）（4k²-3）=0，
∴，滿足0＜k²＜1
∴△ABD可以為正△，此時
分析：（1）設過點M的方程與拋物線方程聯(lián)立消去y，根據(jù)判別式大于0可求得k²的范圍，令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據(jù)韋達定理求得x₁+x₂和y₁+y₂，進而得到AB中點坐標，AB垂直平分線的方程，令y=0，得，這樣就可以求出X₀的取值范圍．
（2）若△ABD是正三角形，則需點D到AB的距離等于，由此建立方程，可求，滿足0＜k²＜1，從而我們就可以解出這道題．
點評：直線與拋物線的位置關(guān)系問題，通常我們是聯(lián)立方程，組成方程組，利用韋達定理求解，對于存在性命題，一般式假設存在，轉(zhuǎn)化為封閉性命題求解．