Question

已知函數(shù)f(x)=-x³+ax²+b(a，bÎR)。

（1）是否存在實(shí)數(shù)使函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)函數(shù)？

（2）若xÎ[0，1]，函數(shù)y=f(x)上任意一點(diǎn)切線的斜率為k，討論|k|£1的充要條件。

Answer 1

答案：
解析：

解（1）∵ f(x)=-x3+ax2+b  ∴ f¢(x)=-3x2+2ax ∴ f¢(x)不可能恒大于0，若-3x2+2ax£0恒成立，則a=0，故當(dāng)a=0，bÎR時(shí)函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)減函數(shù)。 （2）當(dāng)xÎ[0，1]時(shí)，k=f¢(x)=-3x2+2ax，由題意得：-1£-3x2+2ax£1，xÎ[0，1] 即對(duì)任意xÎ[0，1]，|f¢(x)|£1等價(jià)于|f¢(0)|£1，|f¢(1)|£1，滿足： 或 或即或或 所以。即|k|£1的充要條件是。