Question

（理科）已知z=a+bi（a、b∈R，i是虛數單位），z₁，z₂∈C，定義：D（z）=||z||=|a|+|b|，D（z₁，z₂）=||z₁-z₂||．給出下列命題：
（1）對任意z∈C，都有D（z）＞0；
（2）若

.

z

是復數z的共軛復數，則D(

.

z

)=D(z)恒成立；
（3）若D（z₁）=D（z₂）（z₁、z₂∈C），則z₁=z₂；
（4）對任意z₁、z₂、z₃∈C，結論D（z₁，z₃）≤D（z₁，z₂）+D（z₂，z₃）恒成立，
則其中真命題是（　　）

• A、（1）（2）（3）（4）
• B、（2）（3）（4）
• C、（2）（4）
• D、（2）（3）

Answer 1

考點：復數代數形式的乘除運算

專題：簡易邏輯

分析：由新定義逐一核對四個命題得答案．

解答： 解：對于（1），當z=0時，D（z）=|0|=|0|+|0|=0，命題（1）錯誤；
對于（2），設z=a+bi，則

.

z

=a-bi，則D（

.

z

）=|

.

z

|=|a|+|-b|=|a|+|b|=|z|=D（z），命題（2）正確；
對于（3），若D（z₁）=D（z₂）（z₁、z₂∈C），則z₁=z₂錯誤，如z₁=1+i，z₂=1-i，滿足D（z₁）=D（z₂）（z₁、z₂∈C），但z₁≠z₂；
對于（4），設z₁=a+bi，z₂=c+di，z₃=e+fi，
則D（z₁，z₂）=||z₁-z₂||=||（a-c）+（b-d）i||=|a-c|+|b-d|，
D（z₂，z₃）=||z₂-z₃||=||（c-e）+（d-f）i||=|c-e|+|d-f|，
D（z₁，z₃）=||z₁-z₃||=|（a-e）+（b-f）i|=|a-e|+|b-f|，
由|a-e|=|（a-c）+（c-e）|≤|a-c|+|c-e|，|b-f|=|（b-d）+（d-f）|≤|b-d|+|d-f|，
得D（z₁，z₃）≤D（z₁，z₂）+D（z₂，z₃）恒成立，（4）正確．
∴正確的命題是（2）（4）．
故選：C．

點評：本題是新定義題，考查了命題的真假判斷與應用，考查了絕對值的不等式，是中檔題．