Question

在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的長為2，寬為1，AB、AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上，A點與坐標原點重合（如下圖所示）。將矩形折疊，使A點落在線段DC上，
（Ⅰ）若折痕所在直線的斜率為k，試寫出折痕所在直線的方程；
（Ⅱ）求折痕的長的最大值。

Answer 1

解：（Ⅰ）（1）當k=0時，此時A點與D點重合，折痕所在的直線方程；
（2）當k≠0時，將矩形折疊后A點落在線段CD上的點為G（a，1），
所以A與G關于折痕所在的直線對稱，有，
故G點坐標為G（-k，1），
從而折痕所在的直線與OG的交點坐標（線段OG的中點）為，
折痕所在的直線方程；
由（1）（2）得折痕所在的直線方程為：k=0時，；
k≠0時，；
（Ⅱ）（1）當k≠0時，折痕的長為2；
（2）當k≠0時，折痕所在的直線與坐標軸的交點坐標為，
，
，
令y′=0解得，
∴；
所以折痕的長度的最大值2。