Question

已知函數(shù)f（x）=2x+的定義域?yàn)椋?，1]（a為實(shí)數(shù)）．
（1）求證：當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[，1]上單調(diào)遞增；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)y=f（x）在x∈（0，1]上是否有最大值和最小值，如果有，求出函數(shù)的最值以及相應(yīng)的x的值．

Answer 1

證明：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=2x+．
取x₁，x₂∈[，1]，且x₁＜x₂，則
x₁-x₂＜0，＜x₁•x₂＜1
f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
所以，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[，1]上單調(diào)遞增
解：（2）當(dāng)a＞0時(shí)，∵f（x）=2x+
∴f′（x）=2-
令f′（x）=0，則x=
∵x∈（0，]時(shí)，f′（x）≤0；x∈[，+∞）時(shí)，f′（x）≥0；
∴函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[，+∞）上單調(diào)遞增．
所以函數(shù)沒有最大值．
當(dāng)≥1時(shí)，a≥2，f（x）_min=f（1）=2+a
當(dāng)＜1時(shí)，0＜a＜2，f（x）_min=f（）=2a
分析：（1）將a=1代入，求出函數(shù)的解析式，利用定義法，可證明出函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[，1]上單調(diào)遞增；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)法，可以得到函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性，進(jìn)而分析1與極值點(diǎn)的關(guān)系，可得答案．
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)最值的應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性判斷與證明，定義法和導(dǎo)數(shù)法是最常見的判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，一定要熟練掌握．