Question

在四面體S-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=

2

，SA=SC=2，二面角S-AC-B的余弦值是-

3

3

，則該四面體外接球的表面積是（　　）

• A、8

  6

  π
• B、

  6

  π
• C、6π
• D、

  8π

  3

Answer 1

分析：取AC中點D，連接SD，BD，由題意可得∠SDB為二面角S-AC-B，取等邊△SAC的中心E，找出O點為四面體的外接球球心．

解答：解：取AC中點D，連接SD，BD，
因為AB=BC=

2

，所以BD⊥AC，
因為SA=SC=2，所以SD⊥AC，AC⊥平面SDB．
所以∠SDB為二面角S-AC-B．
在△ABC中AB⊥BC，AB=BC=

2

，
所以AC=2．
取等邊△SAC的中心E，作EO⊥平面SAC，
過D作DO⊥平面ABC，O為外接球球心，
所以ED=

3

3

，二面角S-AC-B的余弦值是-

3

3

，所以cos∠EDO=

6

3

，OD=

2

2

，
所以BO=

BD2+OD2

=

6

2

=OA=OS=OC
所以O點為四面體的外接球球心，

其半徑為

6

2

，表面積為6π．
故選C．

點評：解決此類問題的關鍵是熟悉幾何體的結構特征，利用已知條件求出線段長度，進而確定圓心的位置即可求出圓的半徑，