Question

如圖，在三棱柱中，，頂點在底面上的射影恰為點，且．
（Ⅰ）證明：平面平面；
（Ⅱ）求棱與所成的角的大��；
（Ⅲ）若點為的中點，并求出二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

  證明：（Ⅰ）∵面∴,               

又，                        
∴面，                           
∵面， ∴平面平面；
（Ⅱ）以A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，
，                 
，
故與棱BC所成的角是．                         
（Ⅲ）因為P為棱的中點，故易求得．                               
設平面的法向量為，
則,由 得 
令，則                                                        
而平面的法向量=(1,0,0)，則       
由圖可知二面角為銳角，故二面角的平面角的余弦值是         

解析