Question

如圖，已知一個圓錐的底面半徑為R=1，高為h=2．，一個圓柱的下底面在圓錐的底面上，且圓柱的上底面為圓錐的截面，設圓柱的高為x．
（1）求圓柱的側面積．
（2）x為何值時，圓柱的側面積最大？

Answer 1

分析：（1）根據已知中圓錐的底面半徑為R=1，高為h=2，圓柱的高為x，根據相似三角形的性質，分析圓錐的高與底面半徑的關系，可得圓柱的側面積．
（2）由（1）中圓柱側面積的表達式，結合二次函數的圖象和性質，可得答案．

解答：解：（1）作軸截面如圖所示，
設內接圓柱底面半徑為r
由三角形相似得

r

R

=

h-x

h

，
所以r=

1

2

(2-x)，
S_圓柱側=2πx•

1

2

(2-x)=πx(2-x)=π（-x²+2x）（0＜x＜2）．…（8分）
（2）S_圓柱側=π（-x²+2x）=π[-（x-1）²+1]，又0＜x＜2，
所以當x=1時，S圓柱側最大=π．…（12分）

點評：本題考查的知識點是圓柱的表面積，二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質是解答的關鍵．