Question

如圖，已知一個圓錐的底面半徑為R，高為h，在其中有一個高為x的內接圓柱（其中R，h均為常數）．
（1）當x=h時，求內接圓柱上方的圓錐的體積V；
（2）當x為何值時，這個內接圓柱的側面積最大？并求出其最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據圓錐的底面半徑與高，可得內接圓柱的高為x時，它的高h，由此結合圓柱體積公式即可列出用x表示圓柱的體積的式子；
（2）由（1）可得圓柱的側面積，結合二次函數的單調性與最值，可得當圓柱的底面半徑為1時，圓柱的側面積最大，側面積有最大值為6π．
解答：解：圓錐、圓柱的軸截面如圖所示，其中SO=h，OA=OB=R，OK=x．
設圓柱底面半徑為r，則（3分）
（1）當時，
∴=
（2）設圓柱的側面積為S．
∵，
∴=
∴當時，．
點評：本題給出特殊圓錐，求它的內接圓錐的側面積的最大值，著重考查了圓柱的體積、側面積公式和旋轉體的內接外切等知識點