Question

(1)如圖,在Rt△ABC中,AB=BC,E、F分別是AC和AB的中點,以EF為棱把它折成大小為β的二面角A-EF-B,設∠AEC=α.求證:cosα=(cosβ-1).

(2)Rt△ABC的兩直角邊AC=2,BC=3,P為斜邊AB上一點.現沿CP將直角三角形折成直二面角A-PC-B,當AB=時,求二面角P-AC-B的大小.

Answer 1

(1)證明:設AF=FB=a,∴AE=EC=a,BC=2a.?

∵EF⊥AF,EF⊥FB,∴∠AFB=β,EF⊥面AFB.?

∴EF⊥AB.

∵EF∥BC,∴AB⊥BC.?

∴AB²=AC²-BC².?

∵AB²=2a²(1-cosβ),?

AC²=2(α)²(1-cosα),BC²=4a²,?

∴代入得cosα=(cosβ-1).?

(2)解析：如圖，過A作AM⊥PC于M,過B作BN⊥PC,設∠ACP=θ,∴AM=2sinθ,CN=3sinθ,BN=3cosθ.過B作BE₁∥MN,過M作ME⊥BE₁于E,連結AE.?

∵APCB為直二面角,?

∴BN⊥面ACP.?

∴△ACN為△ACB在面ACP上的射影.?

∵∠AME=90°,?

又∵ME⊥BE₁,BE₁∥MN,BN⊥MN,∴MEBN為矩形.?

∴ME=BN=3cosθ.?

∴AE²=4sin²θ+9cos²θ=4+5cos²θ.?

∵AM⊥EB,ME⊥EB,?

∴EB⊥面AME.∴EB⊥AE.?

∴AB²=AE²+EB².?

∴7=4+5cos²θ+(3sinθ-2cosθ)².?

∴sin2θ=1,θ=45°.?

∴S_△CAN =AM×CN=3sin²θ=，S_△ACB?=×BC×h_BC=×3×=.?

設P-AC-B大小為β，?

∴cosβ=.?

∴β=arccos=arctan.