Question

如圖，在Rt△PAQ中，點P的坐標為（-8，0），點A在y軸上，點Q在x軸的正半軸上，∠PAQ=90°，在AQ的延長線上取一點M，使|AQ|=|MQ|．
（1）當點A在y軸上移動時，求動點M的軌跡E；
（2）直線l：y=kx-1與軌跡E交于B、C兩點，已知點F的坐標為（1，0），當∠BFC為鈍角時，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設A（0，b），Q（a，0），M（x，y）又M在AQ的延長線且|AQ|=|QM|，得到

AQ

=

QM

，得到a，b與x，y的關系，
又△PAQ為直角三角形，得到b²=8a，將a，b用x，y代替即可．
（2）將直線方程與拋物線方程聯立，利用韋達定理得到x1x2=

1

k2

，x1+x2=

2k+4

k2

，將∠BFC為鈍角轉化為兩向量的數量積小于0但不為-1，列出關于k的不等式，求出k的范圍．

解答：解：（1）設A（0，b），Q（a，0），M（x，y）
Q在x軸正半軸上，∴a＞0
又M在AQ的延長線且|AQ|=|QM|
∴

AQ

=

QM

…（2分）
即（a，-b）=（x-a，y）
∴

x=2a y=-b

…（4分）
又△PAQ為直角三角形
∴b²=8a
∴y²=4x（x＞0）…（6分）
點M的軌跡E是焦點為（1，0），頂點在原點的拋物線不包括頂點（0，0）…（8分）
（2）設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）
由

y=kx-1 y2=4x

得 k²x²-（2k+4）x+1=0
所以x1x2=

1

k2

，x1+x2=

2k+4

k2

∵l與E有兩個交點
∴

k2≠0 (2k+4)2-4k2＞0

得k＞-1且k≠0①…（8分）
∵∠BFC為鈍角
∴

FB

•

FC

=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+(kx1-1)(kx2-1)＜0
即（k²+1）x₁x₂-（1+k）（x₁+x₂）+2＜0
∴

k2+1

k2

-(1+k)

2k+4

k2

+2＜0
得 k²-6k-3＜0
解得  3-2

3

＜k＜3+2

3

②…（10分）
當

FB

、

FC

反向共線時，k=1   ③…（12分）
綜合①②③得，k的取值范圍：(3-2

3

，0)∪(0，1)∪(1，3+2

3)

…（14分）

點評：解決直線與圓錐曲線的位置關系的問題，一般將直線方程與圓錐曲線方程聯立，利用韋達定理，然后再找突破口．