Question

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數）.以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.

（1）寫出曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；

（2）若直線與曲線有兩個不同交點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）的普通方程為，的直角坐標方程為；（2）.

【解析】

（1）利用平方關系消去參數即可得到曲線的普通方程，再利用極坐標與直角坐標的互化公式，即可求得曲線的直角坐標方程；

（2）解法1：根據直線的斜率公式，求得直線的斜率的取值范圍，進而取得實數的取值范圍.解法2：利用方程組，轉化為方程在上有兩個不相等實根，借助二次函數的性質，即可求解.

（1）解：曲線的普通方程為，

把，代入，得

直線的直角坐標方程為，即.

（2）解法1：由直線：，知直線恒過點.

由，當時，得，

所以曲線過點，.

則直線的斜率為，

直線的斜率為.

因為直線的斜率為，且直線與曲線有兩個不同交點，

所以，即.

所以的取值范圍為.

解法2：由，消去得，

依題意，得在上有兩個不相等實根.

設，

則，

解得.

所以的取值范圍為.