Question

設定義在R上的函數f (x)＝a₀x⁴+a₁x³+a₂x²＋a₃x (a _i∈R，i＝0，1，2，3 )，當時，f (x)取得極大值，并且函數y＝f?? (x)的圖象關于y軸對稱。

（1）求f (x)的表達式；

（2）試在函數f (x)的圖象上求兩點，使以這兩點為切點的切線互相垂直，且切點的橫坐標都在區間[－1，1]上；

Answer 1

（1）f (x)＝x³－x（2）見解析

解析:

（1）∵f?? (x)＝4a₀x³＋3a₁x²＋2a₂x+a₃為偶函數，∴ f ??(-x) = f ??(x),

∴       -4a₀x³ +3a₁x² -2a₂x + a₃ = 4a₀x³+3a₁x² +2a₂x + a₃,

∴       4a₀x³ + 2a₂x =0對一切x ?? R恒成立，

∴  a₀＝a₂＝0，∴f (x)＝a₁x³＋a₃x  

又當x＝－時，f (x)取得極大值 

∴ 解得∴f (x)＝x³－x，f?? (x)＝2x²－1    4分

⑵解：設所求兩點的橫坐標為x₁、x₂ (x₁ < x₂)，則(2x₁²－1)(2x₂²－1)＝－1

又∵x₁，x₂∈[－1，1]，∴2x₁²－1∈[－1，1]，2x₂²－1∈[－1，1]

∴2x₁²－1，2x₂²－1中有一個為1，一個為－1，       

∴或 ，∴所求的兩點為(0，0)與(1，－)或(0，0)與(－1，)。

⑶證明：易知sin x∈[－1，1]，cos x∈[－1，1]。

當0< x < 時，f ?? (x) < 0；當 < x < 1時，f ?? (x)>0。

∴f (x)在[0，]為減函數，在[，1]上為增函數，

又f (0)＝0，f ()＝－ ，f (1)＝－，而f (x)在[－1，1]上為奇函數，

∴f (x)在[－1，1]上最大值為，最小值為－，即 | f (x) | ≤ ,

∴| f (sin x) | ≤ ，| f (cos x)| ≤ ， ∴| f (sin x)－f (cos x)| ≤ | f (sin x)|＋| f (cos x) | ≤