Question

已知數列{a_n}中，a₁=t（t∈R，且t≠0，1），a₂=t²，且當x=t時，f（x）=（a_n-a_n-1）x²-（a_n+1-a_n）x（n≥2）取得極值?
（1）求證：數列{a_n+1-a_n}是等比數列；
（2）若b_n=a_nln|a_n|（n∈N^*），求數列{b_n}的前n項和S_n；
（3）當時，數列{b_n}中是否存在最大項？如果存在，說明是第幾項；如果不存在，請說明理由?

Answer 1

解：（1）由f'（t）=0，
得（a_n-a_n-1）t=a_n+1-a_n（n≥2）
又a₂-a₁=t（t-1），t≠0且t≠1，
∴a₂-a₁≠0，
∴
∴數列{a_n+1-a_n}是首項為t²-t，公比為t的等比數列
（2）由（1）知a_n+1-a_n=tⁿ⁺¹-tⁿ，
∴a_n-a_n-1=tⁿ-t^n-1，
∴a_n-1-a_n-2=t^n-1-t^n-2，
…
a₂-a₁=t²-t，
上面n-1個等式相等并整理得a_n=tⁿ．（t≠0且t≠1）
b_n=a_nln|a_n|=tⁿ•ln|tⁿ|=ntⁿ•ln|t|．
∴S_n=（t+2•t²+3•t³++n•tⁿ）ln|t|，
tS_n=[t²+2•t³++（n-1）tⁿ+n•tⁿ⁺¹]ln|t|，
兩式相減，并整理得
（3）∵
∴當n為偶數時，b_n=ntⁿln|t|＜0；
當n為奇數時，b_n=ntⁿln|t|＞0，∴最大項必須為奇數項
設最大項為：b_2k+1，則有
即：
整理得
將代入上式，解得
∵k∈N⁺
∴k=2，即數列{b_n}中的最大項是第5項
分析：（1）根據當x=t時，f（x）=（a_n-a_n-1）x²-（a_n+1-a_n）x（n≥2）取得極值，求導，得到f'（t）=0，即a_n-a_n-1）t=a_n+1-a_n（n≥2）整理可證；
（2）由（1），利用累加法即可求得數列{a_n}的通項公式，可求數列{b_n}的通項公式，再利用錯位相減法求和；
（3）根據（2）去絕對值符號，對n分奇偶討論，解不等式組即可證明結果．
點評：此題是個難題．考查等比數列的定義和通項公式，累加法求數列通項公式以及錯位相減法求數列的前n項和，體現了分類討論的思想．其中問題（3）是一個開放性問題，考查了同學們觀察、推理以及創造性地分析問題、解決問題的能力．