Question

（本小題滿分14分）

設（且），g(x)是f(x)的反函數.

（Ⅰ）設關于的方程求在區間[2，6]上有實數解，求t的取值范圍；

（Ⅱ）當a＝e（e為自然對數的底數）時，證明：；

（Ⅲ）當0＜a≤時，試比較與4的大小，并說明理由.

Answer 1

本小題考產函數、反函數、方程、不等式、導數及其應用等基礎知識，考察化歸、分類整合等數學思想方法，以及推理論證、分析與解決問題的能力.

解：(1)由題意，得a^x＝＞0

故g(x)＝，x∈(－∞,－1)∪(1,＋∞)

由得 

t＝(x-1)²(7-x)，x∈[2,6]

則t'=-3x²+18x-15=-3(x-1)(x-5)

列表如下：

x	2	(2,5)	5	(5,6)	6
t'		+	0	-
t	5	↗	極大值32	↘	25

所以t_最小值＝5，t_最大值＝32

所以t的取值范圍為[5,32]……………………………………………………5分

(2)  

           ＝ln()

           ＝－ln

令u(z)＝－lnz²－＝－2lnz＋z－，z＞0

則u'(z)＝－＝(1－)²≥0

所以u(z)在(0,＋∞)上是增函數

又因為＞1＞0，所以u()＞u(1)＝0

即ln＞0 

即………………………………………………………………9分

(3)設a＝，則p≥1，1＜f(1)＝≤3

當n＝1時，|f(1)－1|＝≤2＜4

當n≥2時

設k≥2,k∈N ^*時，則f(k)＝ 

                        ＝1＋

所以1＜f(k)≤1＋

從而n－1＜≤n-1+＝n+1-＜n＋1

所以n＜＜f(1)＋n＋1≤n＋4

綜上所述，總有|－n|＜4