Question

（2012•洛陽模擬）如圖，在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=1，AB=2，動點P在以點C為圓心，且與直線BD相切的圓上或圓內移動，設

AP

=λ

AD

+μ

AB

（λ，μ∈R），則λ+μ取值范圍是（　�。�

A．[1，2]

B．[2，4]

C．[2，+∞）

D．（-∞，1]

Answer 1

分析：建立直角坐標系，寫出點的坐標，求出BD的方程，求出圓的方程；設出P的坐標，求出三個向量的坐標，將P的坐標用λ，μ表示，代入圓內方程求出范圍．

解答：解：以A為坐標原點，AB為x軸，DA為y軸建立平面直角坐標系則
A（0，0），D（0，1），C（1，1），B（2，0）
直線BD的方程為x+2y-2=0，C到BD的距離d=

|1+2-2|

5

=

5

5

∴以點C為圓心，且與直線BD相切的圓方程為（x-2）²+（y-1）²=

1

5

設P（x，y）則

AP

=（x，y），

AD

=（0，1），

AB

=（2，0）
∴（x，y）=（2μ，λ）
∴x=2μ，y=λ
∵P在圓內或圓上
∴（2μ-1）²+（λ-1）²≤

1

5

∴20（μ-

1

2

）²+5（λ-1）²≤1
∴μ-

1

2

≤

1 20

解得1≤λ+μ≤2

點評：通過建立直角坐標系將問題代數化、考查直線與圓相切的條件、考查向量的坐標公式．