Question

設(shè)a、b是兩個互相垂直的單位向量，是否存在整數(shù)k，使向量m=ka+b與n=a+kb的夾角為60°？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：假設(shè)存在整數(shù)k滿足條件，∵a⊥b, ∴a·b=0. ∵|a|=|b|=1,?∴m·n=(ka+b)(a+kb)=ka²+a·b+k²a·b+kb²=2k, |m|²=(ka+b)²=k²a²+2ka·b+b²=k²+1，即|m|=，|n|²=(a+kb)²=a²+2ka·b+k²b²=1+k²,即|n|=. 由cos60°===,即k²-4k+1=0, 解得k=2±Z. ∴假設(shè)不成立.?故不存在整數(shù)k，使m,n的夾角為60°.