Question

已知點M（-2，0），N（2，0），動點P滿足條件|PM|-|PN|=2

2

，且到直線l：y=x-2的距離為

2

，滿足條件的點P的個數為

1

（個）．

Answer 1

分析：先求出雙曲線的方程，并畫出圖形，因為直線與雙曲線的漸近線平行，所以只能有一個點滿足要求．

解答：解：∵|PM|-|PN|=2

2

＜4=|MN|，
∴據雙曲線的定義可知：動點P應在雙曲線上，

x2

a2

-

y2

b2

=1，其中，a=

2

，c=2，
∴b2=22-(

2

)2=2．
∴動點P的軌跡為x²-y²=2．
如圖所示：∵雙曲線為等軸雙曲線，∴其漸近線方程為y=±x，
而直線y=x與y=x-2的距離d=

|-2-0|

2

=

2

，
∴直線y=x-2的左上方的雙曲線上的點都不滿足到直線y=x-2上的距離等于

2

．
在雙曲線上的點到直線y=x-2的距離為

2

的點只能在直線y=x-2的下方，且只有一個點，如圖示．
故答案為1．

點評：理解與等軸雙曲線的漸近線平行的直線只能與雙曲線有一個交點是解題的關鍵．