Question

給出下列命題：
①半徑為2，圓心角的弧度數為

1

2

的扇形面積為

1

2

；
②若α、β為銳角，tan（α+β）=

1

2

，tan β=

1

3

，則α+2β=

π

4

；
③函數y=cos（2x-

π

3

）的一條對稱軸是x=

2

3

π；
④?=

3

2

π是函數y=sin（2x+?）為偶函數的一個充分不必要條件．
其中真命題的序號是

②③④

．

Answer 1

分析：①由扇形的面積公式S=

1

2

α•r2可求
②由α、β為銳角，tan（α+β）=

1

2

＜1，tan β=

1

3

＜1，可得0＜α+β＜

π

4

，0＜β＜

π

4

，，進而可得0＜α+2β＜

π

2

，然后利用tan（α+2β）=tan[（α+β）+β]=

tan(α+β)+tanβ

1-tan(α+β)tanβ

可求
③根據函數對稱軸處取得最值的性質可判斷
④∅=

3π

2

時，函數y=sin（2x+?）=-cos2x為偶函數，但是當y=sin（2x+?）為偶函數時，kπ+

1

2

π=∅，

解答：解：①由扇形的面積公式可得S=

1

2

×

1

2

×22=1，則半徑為2，圓心角的弧度數為

1

2

的扇形面積為1；故①錯誤
②由α、β為銳角，tan（α+β）=

1

2

＜1，tan β=

1

3

＜1，可得0＜α+β＜

π

4

，0＜β＜

π

4

，
∴0＜α+2β＜

π

2

則tan（α+2β）=tan[（α+β）+β]=

tan(α+β)+tanβ

1-tan(α+β)tanβ

=

1 3 + 1 2

1- 1 2 • 1 3

=1
∴α+2β=

π

4

；故②正確
③當x=

2π

3

時，函數y=cos（2x-

π

3

）=cosπ=-1取得函數的最小值，根據函數對稱軸處取得最值的性質可知，函數的一條對稱軸是x=

2

3

π；③正確
④∅=

3π

2

時，函數y=sin（2x+?）=-cos2x為偶函數，但是當y=sin（2x+?）為偶函數時，kπ+

1

2

π=∅，即∅=

3π

2

是函數y=sin（2x+?）為偶函數時的一個充分不必要條件．④正確
故答案為：②③④

點評：本題以命題的真假關系的判斷為載體，主要考查了扇形的面積公式、兩角和的正切公式、正弦函數與余弦函數的對稱性質等知識的綜合應用，此類試題綜合性強，考查的知識點較多．