Question

如圖，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面邊長是2，體積是16，M，N分別是棱BB₁、B₁C₁的中點(diǎn)．
（1）求異面直線MN與A₁C₁所成角的大小（結(jié)果用反三角表示）；
（2）求過A₁，B，C₁的平面與該正四棱柱所截得的多面體A₁C₁D₁-ABCD的體積．

Answer 1

解：（1）由題意得16=2²×B₁B，∴B₁B=4．
在Rt△ABC中，由勾股定理可得==A₁C₁．
同理可得=．
連接BC₁，∵M(jìn)，N分別是棱BB₁、B₁C₁的中點(diǎn)，∴BC₁∥MN，
∴∠A₁C₁B或其補(bǔ)角是異面直線MN與A₁C₁所成的角．
連接BA₁，在△A₁BC₁中，由余弦定理得cos∠A₁C₁B==．
∴異面直線MN與A₁C₁所成的角為．
（2）∵；
∴，
∴多面體A₁C₁D₁-ABCD的體積為．
分析：（1）利用三角形的中位線定理、勾股定理、異面直線所成的角的定義即可得出；
（2）先計算出三棱錐B-A₁B₁C₁體積，即可得出要求的體積．
點(diǎn)評：熟練掌握三角形的中位線定理、勾股定理、異面直線所成的角的定義及三棱錐的體積是解題的關(guān)鍵．