Question

若關于x的方程asinx•cosx+sin²x-3=0在x∈[

π

4

，

π

3

]恒有解，則實數a的取值范圍是（　　）

• A．[2

  6

  ，3

  3

  ]
• B．[2

  6

  ，5]
• C．[5，3

  3

  ]
• D．[3

  3

  ，+∞)

Answer 1

分析：通過化簡方程為a的表達式，利用x的范圍，通過基本不等式以及函數的單調性求出函數的最值，求出a的取值范圍．

解答：解：關于x的方程asinx•cosx+sin²x-3=0，
化為a=

3-sin2x

sinxcosx

=2tanx+

3

tanx

，因為x∈[

π

4

，

π

3

]，
所以a≥2

2tanx• 3 tanx

=2

6

，當且僅當tanx=

3 2

2

時a取得最小值，
當x=

π

3

時，a=3

3

，x=

π

4

時，a=5，又3

3

＞5，
所以a∈[2

6

，3

3

]，此時方程在x∈[

π

4

，

π

3

]時方程恒有解．
故選 A．

點評：本題考查函數與方程的綜合應用，函數的最值的求法，轉化思想的應用，考查分析問題解決問題的能力．