Question

如圖1，在直角梯形ABCP中，AP//BC，AP⊥AB，AB=BC=AP=2，D為AP的中點，E，F，G分別為PC、PD、CB的中點，將PCD沿CD折起，使點P在平面ABCD上的射影為點D，如圖2.      

（I）求證：AP//平面EFG；

（II）求二面角E-FG-D的一個三角函數值.

Answer 1

解：由題意，△PCD折起后PD⊥平面ABCD, 四邊形ABCD是邊長為2的正方形，PD＝2.

（I）∵ E、F、G分別是PC、PD、BC的中點，

∴ EF∥CD, EG∥PB.

又CD∥AB, ∴EF∥AB, PBAB=B, 

∴ 平面EFG∥平面PAB

(II)建立空間直角坐標系,如圖,       

則D(0,0,0),F(0,0,1),G(1,2,0),E(0,1,1),

(0,1,0) , (1,2,0), (0,－1，0)，

（1，1，－1）.     ...........................6分

設平面DFG的法向量為，

則  ∴

令得（－2，1，0）.

設平面EFG得法向量為，

則

     ∴  

    令得（1，0，1），

設二面角E-FG-D為, 則=,

所以, 設二面角E-FG-D的余弦值為