Question

如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2，M為線段AB的中點．將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D-ABC，如圖2所示．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面ACD；
（Ⅱ）求二面角A-CD-M的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證BC⊥平面ACD，只需證明BC垂直平面ACD內的兩條相交直線AC、OD即可；
（Ⅱ）建立空間直角坐標系，求出兩個平面的法向量，利用向量的數量積，求二面角A-CD-M的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）在圖1中，可得AC=BC=2

2

，從而AC²+BC²=AB²，故AC⊥BC
取AC中點O連接DO，則DO⊥AC，又面ADC⊥面ABC，
面ADC∩面ABC=AC，DO?面ACD，從而OD⊥平面ABC，（4分）
∴OD⊥BC
又AC⊥BC，AC∩OD=O，
∴BC⊥平面ACD（6分）
另解：在圖1中，可得AC=BC=2

2

，
從而AC²+BC²=AB²，故AC⊥BC
∵面ADC⊥面ABC，面ADE∩面ABC=AC，BC?面ABC，從而BC⊥平面ACD
（Ⅱ）建立空間直角坐標系O-xyz如圖所示，
則M(0，

2

，0)，C(-

2

，0，0)，
D(0，0，

2

)

CM

=(

2

，

2

，0)，

CD

=(

2

，0，

2

)（8分）
設

n1

=(x，y，z)為面CDM的法向量，
則

n1 • CM =0 n1 • CD =0

即

2 x+ 2 y=0 2 x+ 2 z=0

，解得

y=-x z=-x

令x=-1，可得

n1

=(-1，1，1)
又

n2

=(0，1，0)為面ACD的一個法向量
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

1

3

=

3

3

∴二面角A-CD-M的余弦值為

3

3

．（12分）

點評：本題考查直線與平面的存在的判定，二面角的求法，考查邏輯思維能力和空間想象能力，是中檔題．