Question

（2012•泰州二模）選修4-2：矩陣與變換
已知M=

1    2 2    1

，β=

1 7

，試計算M³β．

Answer 1

分析：先根據特征值的定義列出特征多項式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應的特征向量，將矩陣β用征向量α₁，α₂，表示出來，然后再代入M³β進行計算．

解答：解：矩陣M的特征多項式為f（λ）=

.

λ-1 -2 -2 λ-1

.

=λ²-2λ-3
令f（λ）=0解得λ₁=3，λ₂=-1
從而矩陣M對應的特征向量分別為α₁=

1   1

，α2=

1   -1

令β=mα₁+nα₂，
所以m

1   1

+n

1   -1

=

1   7

即

m+n=1 m-n=7

解得

m=4 n=-3

故M³β=M³（4α₁-3α₂）
=4（M³α₁）-3（M³α₂）
=4（λ₁³α₁）-3（λ₂³α₂）
=4•3³

1   1

-3（-1）³

1   -1

=

111   105

點評：此部分是高中新增的內容，但不是很難，套用公式即可解答，主要考查學生的計算能力．