Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為為橢圓上一動點，當的面積最大時，其內切圓半徑為，設過點的直線被橢圓截得線段,

當軸時，.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若點為橢圓的左頂點，是橢圓上異于左、右頂點的兩點，設直線的斜率分別為，若，試問直線是否過定點？若過定點，求該定點的坐標；若不過定點，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線過定點，定點坐標為.

【解析】

（1）根據三角形內切圓的性質得到的關系，結合已知條件，可求橢圓方程。

（2）在（1）的條件下，當直線的斜率存在時，設直線的方程為，代入橢圓方程，運用韋達定理和直線的斜率公式，化簡整理，再由直線恒過定點的求法，即可得到所求定點，切記在斜率不存在時進行檢驗。

解：（1）由題意及三角形內切圓的性質可得，得①

將代入，結合②，得，

所以③，由①②③得

故橢圓的標準方程為

（2）設點的坐標分別為，.

①當直線的斜率不存在時，由題意得或，

直線的方程為

②當直線的斜率存在時，設直線的方程為，

聯立得，消去得，

由，得

）

由可得，

得，

整理得

由（1）和（2）得，解得或

當時，直線的方程為，過定點，不合題意；

當時，直線的方程為，過定點，

綜上直線過定點，定點坐標為.