Question

（1）已知函數f(x)=

2x-1

2x+1

，判斷函數的奇偶性，并加以證明．
（2）已知函數f(x)=lg

1-x

1+x

，
    ①求f（x）的定義域；
    ②證明函數f（x）是奇函數．
    ③判斷并證明f（x）在定義域內的單調性．

Answer 1

分析：（1）根據函數f(x)=

2x-1

2x+1

可得函數f（x）的定義域為R，且滿足f（-x）=-f（x），從而得到函數f（x）為奇函數．
（2）①由函數的解析式可得

1-x

1+x

＞0，解得-1＜x＜1，可得函數的定義域．
②由于函數的定義域關于原點對稱，且滿足f（-x）=-f（x），可得函數f（x）為奇函數．
③令t（x）=

1-x

1+x

=-1+

2

1+x

，設-1＜x₁＜x₂＜1，則有f（x₁）-f（x₂）=

2(x2-x1)

(1+x1)(1+x2)

＞0，即f（x₁）＞f（x₂），可得函數t（x）在定義域（-1，1）上是減函數

解答：（1）解：∵已知函數f(x)=

2x-1

2x+1

，
∴函數f（x）的定義域為R，且滿足f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

 =-

2x-1

2x+1

=-f（x），
∴函數f（x）為奇函數．
（2）解：①∵已知函數f(x)=lg

1-x

1+x

，∴

1-x

1+x

＞0，即

x-1

x+1

＜0，即 （x-1）（x+1）＜0，解得-1＜x＜1，
故函數的定義域為（-1，1）．
②由于函數的定義域為（-1，1），關于原點對稱，且滿足f（-x）=lg

1+x

1-x

=lg(

1-x

1+x

)-1=-lg

1-x

1+x

=-f（x），
故函數f（x）為奇函數．
③令t（x）=

1-x

1+x

=-1+

2

1+x

，
顯然函數t（x）在定義域（-1，1）上是減函數．
證明：設-1＜x₁＜x₂＜1，
則有f（x₁）-f（x₂）=[-1+

2

1+x1

]-[-1+

2

1+x2

]=

2

1+x1

-

2

1+x2

=

2(x2-x1)

(1+x1)(1+x2)

．
由題設可得，（1+x₁）＞0，（1+x₂）＞0，2（x₂-x₁）＞0，
∴

2(x2-x1)

(1+x1)(1+x2)

＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故函數t（x）在定義域（-1，1）上是減函數．
根據復合函數的單調性可得f（x）=lgt（x）=lg

1-x

1+x

 在定義域（-1，1）上是減函數．

點評：本題主要考查函數的奇偶性的定義和判斷方法，函數的單調性的判斷和證明，復合函數的單調性，屬于中檔題．