Question

在平面直角坐標系中，設點P（x，y），定義[OP]=|x|+|y|，其中O為坐標原點．對于下列結論：
①符合[OP]=1的點P的軌跡圍成的圖形的面積為2；
②設點P是直線：

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x+2y-2=0上任意一點，則[OP]min=

2

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；
③設點P是直線：y=kx+1（k∈R）上任意一點，若使得[OP]最小的點P有無數個，則k的值是k=±1；
④設點P是圓x²+y²=1上任意一點，則[OP]max=

2

．
其中正確的結論序號為

①③④

．

Answer 1

分析：①根據新定義由[OP]=|x|+|y|=1，討論x的取值，得到y與x的分段函數關系式，畫出分段函數的圖象，由圖象可知點P的軌跡圍成的圖形為邊長是

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的正方形，求出正方形的面積即可；
②舉一個反例，令y=0，求出相應的x，根據新定義求出[OP]=|x|+|y|，即可得到[OP]的最小值為1是假命題；
③根據|x|+|y|大于等于|x+y|或|x-y|，把y=kx+b代入即可得到，當[OP]最小的點P有無數個時，k等于1或-1；而k等于1或-1推不出[OP]最小的點P有無數個，所以得到k=±1是“使[OP]最小的點P有無數個”的必要不充分條件．

解答：解：∵[OP]=|x|+|y|，
∴當[OP]=1，點P的軌跡如圖所示：其面積為2，故①正確；
若點P是直線：

5

x+2y-2=0上任意一點，②當P（

2 5

5

，0）時，[OP]=|x|+|y|=

2 5

5

＜1，所以[OP]的最小值不為1，故②錯誤；
③因為|x|+|y|≥|x+y|=|（k+1）x+b|，當k=-1時，|x|+|y|≥|b|，滿足題意；
而|x|+|y|≥|x-y|=|（k-1）x-b|，當k=1時，|x|+|y|≥|b|，滿足題意，故③正確；
④設點P是圓x²+y²=1上任意一點，可設x=sinx，y=cosx，則[OP]=|sinx|+|cosx|∈[1，

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]，故④正確
故答案為：①③④

點評：此題考查學生理解及運用新定義的能力，考查了數形結合的數學思想，是一道中檔題．