Question

已知點(diǎn)P（x，y）在橢圓x²+2y²=3上運(yùn)動(dòng)，則

1

x2

+

2

1+y2

的最小值是（　　）

• A．

  4 10

  5

• B．

  9

  5

• C．1+

  2 2

  5

• D．2

Answer 1

分析：由題意可得x²+2y²=3即x²=3-2y²，則

1

x2

+

2

1+y2

=

1

3-2y2

+

2

1+y2

=

1

5

×( 

1

3-2y2

+

4

2+2y2

)(3-2y2+2+2y2)利用基本不等式可求最小值

解答：解：點(diǎn)P（x，y）在橢圓x²+2y²=3上運(yùn)動(dòng)
∴x²+2y²=3即x²=3-2y²
則

1

x2

+

2

1+y2

=

1

3-2y2

+

2

1+y2

=

1

5

×( 

1

3-2y2

+

4

2+2y2

)(3-2y2+2+2y2)
=

1

5

(5+

2+2y2

3-2y2

+

4(3-2y2)

2+2y2

)≥

1

5

(5+2

4

)=

9

5

即所求的最小值為

9

5

故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用橢圓的方程，利用基本不等式求解最小值，解題的關(guān)鍵是利用了1═

1

5

( 3-2y2+2+2y2)的代換，從而把所求的式子變形為積為定值的形式