Question

【題目】已知數列{an}滿足nan+2﹣（n+2）an=λ（n2+2n），其中a1=1，a2=2，若an＜an+1對n∈N*恒成立，則實數λ的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】[0，+∞）
【解析】解：由nan+2﹣（n+2）an=λ（n2+2n）=λn（n+2）， 得 ，
∴數列{ }的奇數項與偶數項均是以λ為公差的等差數列，
∵a1=1，a2=2，
∴當n為奇數時， ，
∴ ；
當n為偶數時， ，
∴ ．
當n為奇數時，由an＜an+1 ， 得 ＜ ，
即λ（n﹣1）＞﹣2．
若n=1，λ∈R，若n＞1則λ＞ ，∴λ≥0；
當n為偶數時，由an＜an+1 ， 得 ＜ ，
即3nλ＞﹣2，∴λ＞ ，即λ≥0．
綜上，λ的取值范圍為[0，+∞）．
所以答案是：[0，+∞）．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的通項公式的相關知識，掌握如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．